William Gilbert, một nhà khoa học người anh ở thế kỷ 17, bằng một vài thí nghiệm kỹ lưỡng, đã nhận thấy một vài chất liệu khác cũng có tính chất hút như của hổ phách và gọi chúng là vật tích điện. Ông ấy cũng khám phá ra rằng ngoài rơm, chúng có thể hút các vật khác nữa.

Kế tiếp đó, Charles du Fay có một khám phá quan trọng. Ông thấy rằng hầu hết các vật thể, ngoại trừ kim loại và chất lỏng, có thể trở thành vật tích điện sau khi cho chúng kết hợp giữa làm nóng và chà xát. Thêm vào đó ông thấy rằng, khi hai vật tích điện đặt gần nhau, có lúc chúng hút nhau, có lúc chúng đẩy nhau. Với thêm một chút kiến thức, du Fay có hai nhóm vật tích điện rõ ràng. Bất cứ hai vật trong cùng nhóm sẽ luôn đẩy nhau, khác nhóm sẽ hút nhau. Để giải thích hiện tượng vật lý này, một người Mỹ tên là Benjamin Franklin đã đưa ra giả thuyết về chất được gọi là lý thuyết “hai lưu chất điện”. Đây là một trong những thuyết vật lý thô sơ để giải thích hiện tượng điện, dựa qua các thí nghiệm và quan sát thực tiễn mà người ta tiến hành xây dựng lý thuyết sao cho phù hợp.

Khi đó người ta lập luận rằng có hai loại lưu chất điện, lưu chất điện âm và lưu chất điện dương, hai vật chứa cùng loại thì đẩy nhau, khác loại thì hút nhau. Một vật được coi là trung hòa về điện nếu lưu lượng chất điện âm và lưu lượng chất điện dương của vật bằng nhau, hai vật trung hòa về điện thì không tác động lên nhau.

Dựa trên các lập luận của lý thuyết đã có, người ta cũng phỏng đoán chính xác các kết quả trên thí nghiệm với tĩnh điện nghiệm trước khi bắt tay vào thí nghiệm kỹ lưỡng với thiết bị vật lý thô sơ này.

Thanh cao su và miếng nỉ cả hai ban đầu đều trung hòa về điện, với việc cho chúng cọ xat (tiếp xúc) ta tạo ra một dòng chảy giữa các chất lưu điện giữa giữa hai vật với nhau, các lưu chất hai vật vật trộn lẫn vào nhau một cách ngẫu nhiên, khiến cho lưu lượng chất điện dương và âm của cả hai vật không còn cân bằng nhau như lúc ban đầu nữa, vì vậy cả hai trở thành vật tích điện. Cho thanh cao su sau khi cọ xát tiếp xúc với thanh kim loại, khi này lưu chất điện âm (quy ước) thừa trên thanh cao su chảy vào kim loại khiến cho hai lá vàng nhiễm điện âm do vậy chúng đẩy nhau. Hiện tượng lưu chất điện âm từ thanh cao su chảy vào kim loại này khiến người ta phải nghĩ ra một khái niệm mới để giải thích sự chảy này, vậy là khái niệm về điện thế ra đời.

Trong khoa học cổ điển người ta thường xây dựng các khái niệm (lý thuyết) mới dựa trên phần lớn các quan sát gần gũi hay từ các khái niệm (lý thuyết) có trước. Cũng giống như nước có xu hướng chảy từ nơi cao về nơi thấp thì lưu chất điện cũng có xu hướng chảy từ nơi có điện thế cao về nơi có điện thế thấp, lưu chất nước mang xu hướng như vậy là do tác động từ phía trọng trường, vậy còn lưu chất điện này thì thứ gì đã tác động chúng? Dù có đặt thanh cao su bên dưới thanh kim loại thì hai lá vàng vẫn đẩy nhau đấy thôi, hiển nhiên không phải là trọng trường rồi!

Thật vậy, hai điện tích trong chân không tiếp xúc với nhau nhưng vẫn hút nhau hoặc đẩy nhau. Chúng tác dụng lực lên nhau bằng cách nào?

Tương tác hấp dẫn giữa hai vật không tiếp xúc với nhau là vì vật này được đặt trong trường hấp dẫn của vật kia. Cũng giống như một vật tác dụng lực hấp dẫn lên các vật khác ở gần nó vì xung quanh vật đó có trường hấp dẫn, đúng vậy, chúng ta đang nói về ý tưởng Điện Trường của Michael Faraday, thực thể vật lý này được phát minh, định tính và định lượng sao cho phù hợp với hai sự kiện vật lý về hiện tượng điện trên nói riêng, cũng như các sự kiện khác về hiện tượng điện nói chung. Một lần nữa, người ta lại xây dựng các khái niệm (lý thuyết) mới dựa trên phần lớn các quan sát gần gũi hay từ các khái niệm (lý thuyết) có từ trước.

Tuy nhiên, vật lý hiện đại đã chứng minh được rằng, con người không phát minh ra điện từ trường, mà chúng thật sự tồn tại, vì vậy đây chính là một khám phá. Dĩ nhiên sau đó học thuyết thô sơ về lưu chất điện đã không còn đúng nữa và được thay thế bởi học thuyết về các hạt tải điện bên trong nguyên tử hay phân tử quen thuộc với chúng ta. Qua đó thấy rằng điện tích trên một vật có cấu tạo gián đoạn, điện lượng của nó luôn luôn bằng một số nguyên lần của một điện lượng nhỏ nhất gọi là điện tích cơ bản có độ lớn xấp xỉ $q=1.6 \times 10^{-19} C$ (Độ lớn của điện tích cơ bản do nhà vật lý Robert A. Millikan đo được lần đầu tiên trong thí nghiệm giọt dầu rơi năm 1909).

Bài toán tìm hệ số góc tiếp tuyến của Fermat

Lý luận giải quyết bài toán của Fermat:

Trên đường cong cho bởi hàm số $y=f(x)$, giả sử có thêm một điểm trên đường cong có khoảng cách hoành độ với hoành độ tiếp điểm $M_0$ của tiếp tuyến là $e$ (infinitesimal), hai điểm này gần nhau vô hạn nhưng là hai điểm phân biệt, vì vậy xem đường cát tuyến nối hai điểm như một tiếp tuyến. Sau đó trong phương trình hệ số góc cát tuyến giữa hai điểm rất gần nhau như vậy, chỉ việc bỏ tất cả các lượng có chứa $e$ (vì $e$ nhỏ đến độ có thể xem như không tồn tại) để có được hệ số góc tiếp tuyến. Giả sử cho hàm số $y=x^2$, gọi $slope$ là hệ số góc tiếp tuyến của $y$ tại $M_0$, giải pháp đại số có được:

Có vẻ như phương pháp lý luận hình học về tiếp tuyến đường cong của Fermat là không sai và cho ra kết quả đẹp, nhưng việc sử dụng đại lượng $e$ một cách quá trực diện mà ông đã bỏ qua “tính quá trình” trong lý luận. Mấu chốt ở chỗ, giả sử nếu Fermat lập luận với lý luận hình học về tiếp tuyến đường cong có được tính quá trình như sau:

Trên đường cong cho bởi hàm số $y=f(x)$, cho tiếp điểm cát tuyến $M_0$ “tiến về” tiếp điểm còn lại (nhưng không trùng) cho đến khi khoảng cách hoành độ giữa chúng là một lượng $e$ (hai điểm này gần nhau vô hạn nhưng là hai điểm phân biệt, vì vậy xem đường cát tuyến nối hai điểm như một tiếp tuyến). Sau đó trong phương trình hệ số góc cát tuyến giữa hai điểm rất gần nhau như vậy, chỉ việc bỏ tất cả các lượng có chứa $e$ (vì $e$ nhỏ đến độ có thể xem như không tồn tại) để có được hệ số góc tiếp tuyến.

Qua lý luận có được tính quá trình như trên vừa nêu, ta có thể dễ dàng mường tượng ra được điểm $M$ đã cho, đóng vai trò như một “điểm chuyển động” trên đồ thị hàm số $y=f(x)$. Một dự đoán về “giới hạn” của quá trình “tiến về” xuất hiện qua trực giác khi các thông tin biểu hiện vị trí của một điểm theo hàm số trên bảng tính khảo sát được nhận liên tục các giá trị giả định, chúng thể hiện rằng: khi cho $x$ nhận những giá trị “càng gần” $x_0$, nếu $f(x)$ cũng “càng gần” $f(x_0)$ và gần “tùy ý” miễn là cho $x$ “đủ gần” $x_0$, thì $f(x_0)$ chính là giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến về $x_0$.

Rõ ràng hơn, điều này cho ta hàm ý rằng với:

khi cho $x$ nhận những giá trị “càng gần” $x_0$, nếu $G(x)$ cũng “càng gần” một giá trị nào đó, mà ta giả sử gọi chúng là $L$ và gần “tùy ý”, miễn là cho $x$ “đủ gần” $x_0$, thì $L$ được gọi là giới hạn hàm số $G(x)$ khi $x$ tiến về $x_0$.

Như vậy, một cách tổng quát, cho một hàm số $y=f(x)$: Nếu $f(x)$ có thể gần $L$ “tùy ý” ($f(x)$ tiến về $L$: $f(x) \to L$), miễn là cho $x$ “đủ gần” $x_0$ ($x$ tiến về $x_0$: $x \to x_0$), thì $L$ được gọi là Giới hạn của Hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến về $x_0$.

Bài toán vận tốc tức thời của chuyển động của Newton

Trong tác phẩm The Method of Fluxions (1736), Newton từng viết:

“Tôi không nghĩ rằng những vật thể toán học được tạo nên bởi những phần, dầu là rất nhỏ, mà là tạo nên bởi một sự chuyển động liên tục. Đường không phải do sự kết hợp bởi những phần của nó, mà là được tạo nên bởi một điểm chuyển động. Mặt thì do những đường chuyển động tạo thành.”

Đến với bài toán, Newton gọi các đại lượng $x,y$ cấu thành một điểm chuyển động (theo thời gian $t$) trên đồ thị hàm số là $fluent$, gọi vận tốc của chúng là $fluxion$ kí hiệu $\dot{x}, \dot{y}$. Mặt khác ta có $\Delta x=v_x\Delta t$ và $\Delta y=v_y\Delta t$.

Xét vận tốc điểm chuyển động ở trong khoảng thời gian là $\Delta t=o$ rất bé, bé như ý tưởng của đại lượng vô cùng bé. Vì $\Delta t=o$ nên lượng thay đổi của $x, y$ khi đó cũng là vô cùng bé, có thể viết thành $\Delta x=\dot{x}o$ và $\Delta y=\dot{y}o$. Giả sử cho hàm số $y=x^2$, gọi $\dot{v}_x$ là vận tốc biến thiên tức thời tại $x$ của hàm $y$, giải pháp đại số có được:

Trong bài toán, ta thấy Newton cũng sử dụng đến đại lượng $e$, nhưng khác với Fermat, Newton xem trọng “tính quá trình” khi lý luận phương pháp cho bài toán qua hình học với ý tưởng “điểm chuyển động”. Vì vậy, Newton đã thật sự chạm đến khái niệm Giới hạn trong giải pháp cho bài toán này.

Bài toán diện tích miền trên mặt phẳng của Leibniz

Trong khi Newton tiếp cận với khái niệm Fluxion, một cách độc lập, Leibniz cũng tạo ra ý tưởng hệ số Vi phân của mình khi làm việc với bài toán diện tích miền trên mặt phẳng.

Ông gọi $dy$ là một lượng thay đổi nhỏ vô hạn của $y$ (hay Vi phân của $y$) do (tương ứng với, gây ra bởi) một lượng thay đổi nhỏ vô hạn của $x$ (hay Vi phân của $x$) để đạt được “tốc độ biến thiên tức thời của hàm $y$ tại $x$”, được biểu thị bằng hệ số Vi phân:

Giống với Newton, cách viết lý luận cho khái niệm Vi phân bằng các “lượng thay đổi nhỏ vô hạn” cho thấy ông cũng xem trọng “tính quá trình” biến thiên của hàm.

Giải pháp hoạt động gần như tương tự với khái niệm Fluxion, bằng cách dùng đại lượng $e$ giả định để xác định hệ số Vi phân, qua đó xây dựng được cơ sở tính toán thực (hiện thực hoá) cho ý tưởng Tích phân là công thức Newton-Leibniz quen thuộc ngày nay:

với $F$ được gọi là Nguyên hàm của $f$.

Sau cùng, Vi phân của Leibniz cũng là một “đối tượng cơ bản” để phục vụ cho việc định nghĩa Đạo hàm. Giống với cách Archimedes, Fermat, Newton dùng $e$ để tính toán diện tích hình tròn, hệ số góc tiếp tuyến hay vận tốc tức thời của chuyển động, trở thành tiền đề sau đó cho việc định nghĩa Đạo hàm. Mặc dù theo cách hiểu hiện đại, nó không phải.

Vào cuối thế kỷ 19, các nhà toán học cảm thấy rằng đại lượng $e$ chứa đựng những mơ hồ và mâu thuẫn với lý thuyết đại số thuần túy trong quá trình phát triển của nó. Một số nhà toán học thế kỷ 19 (Weierstrass, Bolzano và những người khác) đã tìm ra phép tính Giới hạn với định nghĩa có hình thức $\epsilon - \delta$ chặt chẽ về mặt đại số hơn $e$ rất nhiều, trong khi Cauchy khai thác cả khái niệm $e$ và Giới hạn (xem Cours d’Analyse (1821)). Tuy nhiên, ký hiệu Vi phân của Leibniz vẫn được sử dụng phổ biến vì tính kỹ thuật (ảnh hưởng nhiều đến phương pháp Tích phân đã có, điển hình trong phép biến đổi Tích phân chúng ta có thể đối phó với chúng như những ký hiệu đại số thông thường) và tính gợi ý tuyệt vời trong các tính toán, cho phép cung cấp các biểu thức gọn gàng và trực quan. Do đó ký hiệu đã được giải thích lại về mặt định nghĩa dù rằng ý tưởng của phương pháp Vi phân cho Đạo hàm không sai. Vì vậy, để thoát khỏi đó, Đạo hàm phải được định nghĩa trên phép tính Giới hạn rồi xem Đạo hàm như một “đối tượng cơ bản”, còn $dy, dx$ như những giá trị đại số, với $dx$ sao cho thỏa mãn phương trình $dy=f’(x)dx$, khi đó $dy$ được gọi là Vi phân của hàm $y$ tại $x$.

Ước số chung lớn nhất (gcd)

^{greatest common divisor (gcd)}

Mối quan hệ chia hết trên tập số nguyên nói rằng: nếu $b \mid a$ (đọc là $b$ là ước của $a$) thì: $-b \mid a$, với $-b$ gọi là số đối của $b.$ Vì vậy:

Ước số chung lớn nhất ($gcd$) của hai hay nhiều số nguyên (có ít nhất một số trong số đó $\ne 0$) được định nghĩa là số nguyên dương lớn nhất là ước số chung của các số đó.

Kí hiệu ước số chung lớn nhất của các số nguyên $a_1, a_2, … a_n: gcd(a_1,a_2,…,a_n).$

Trong trường hợp tất cả số nguyên đều bằng $0$ thì chúng không có $gcd$ vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của các số đó.

Trong trường hợp tất cả số nguyên đều bằng nhau thì $gcd$ của chúng là bất kì phần tử nào trong dãy.

Thuật toán Euclid

tính toán gcd với các số nguyên dương

Định lý cơ bản của số học (fundamental theorem of arithmetic) hay định lý phân tích thừa số nguyên tố (prime factorization theorem) phát biểu rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể dược biểu diễn bằng một tích của các số nguyên tố duy nhất, vì vậy, $gcd$ có thể được tính bằng cách xác định các thừa số nguyên tố. Trong thực tế, phương pháp này chỉ khả thi đối với các số nhỏ, vì việc khai triển tích các thừa số nguyên tố mất quá nhiều thời gian. Vì vậy, để tính toán tốt hơn…

Đầu tiên, phương pháp của Euclid để tính ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương được giới thiệu trên nguyên tắc ước số chung lớn nhất của cặp số không thay đổi khi số lớn hơn được thay bằng hiệu của nó với số nhỏ hơn, thay cho đến khi đạt được cặp số bằng nhau.

Bằng chứng cho điều này trong một bối cảnh cụ thể:

cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ $(a \gt b)$, giả sử, nếu $G$ được xác định là $gcd$ của $a$ và $b$:

thì hiển nhiên tồn tại các số nguyên dương $e$ và $f$ là các số nguyên tố cùng nhau (coprime integers) thoả mãn các biểu thức $a=eG$ và $b=fG$ ($e$ và $f$ phải được xác định là các nguyên tố cùng nhau để không thể tồn tại một số $i$ là thừa số chung của chúng thoả mãn $iG \gt G$).

Theo đó, một mặt ta có được biểu thức $a-b=(e-f)G$, mặc khác hệ số $e-f$ trong biểu thức vừa có cũng không thể phân tích thành bất kì thừa số chung nào với $f$, vì vậy

Hạn chế của thuật toán: khi hai số có khoảng cách xa trên trục số, phải thực hiện rất nhiều số phép trừ cho đến khi đạt được cặp số bằng nhau. Chẳng hạn trường hợp với $1000$ và $7$ là cặp số đầu vào, độ hiệu quả của thuật toán về mặt thời gian được cho là khá tệ so với biến thể sau đây, biến thể sau đây thường được ưa thích hơn khi nói đến “Thuật toán Euclid”.

Giả sử cho hai số $1000$ và $7$, để thực hiện thuật toán trên cần phải thực hiện rất nhiều phép trừ, cụ thể cần thực hiện 142 bước trừ $7$ trên số lớn hơn trong cặp số cho đến khi độ lớn hơn trong phép so sánh cặp số đảo chiều hoặc cân bằng (điểm dừng thuật toán), ở đây là khi giá trị hiệu đạt bằng $6$:

Thật ra, điều này đồng nghĩa với việc đạt được số $r_0$ trong một phép chia Euclid trên số lớn hơn của cặp số đầu vào:

tiếp tục 1 bước trừ $6$ trên số lớn hơn để giá trị hiệu đạt bằng $1$:

điều này đồng nghĩa với việc đạt được số $r_1$ trong một phép chia Euclid trên số lớn hơn của cặp số mới thu được khi độ lớn hơn trong phép so sánh cặp số đảo chiều:

tiếp tục 5 bước trừ $1$ trên số lớn hơn để giá trị hiệu đạt bằng $1$ (cân bằng):

và tìm thấy $gcd$ khi hai số bằng nhau.

Điều này đồng nghĩa với việc đạt được số $r_2$ trong một phép chia Euclid trên số lớn hơn của cặp số mới thu được khi độ lớn hơn trong phép so sánh cặp số đảo chiều:

và tìm thấy $gcd$ khi $r_2=0.$

Như vậy, có thể thấy trong trường hợp này thuật toán Euclid với phép trừ thực hiện hơn 100 bước để đảo chiều độ lớn hơn trong phép so sánh cặp số, trong khi với phép toán $\mathbf{rem}$ chỉ tốn đúng một bước để đảo chiều với cặp số nguyên dương.

Tổng kết cho tất cả điều này:

Hoàn toàn có thể rút gọn các thủ tục cân bằng hoá cặp số nguyên dương đầu vào qua phép trừ của thuật toán Euclid bằng đại lượng $r$ trong biểu thức của phép chia Euclid.

Theo đó

tính toán gcd với các số nguyên

cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ $(a \gt b)$, giả sử, nếu $G$ được xác định là $gcd$ của $a$ và $b$:

thì như đã đề cập, hiển nhiên tồn tại các số nguyên dương $e$ và $f$ là các số nguyên tố cùng nhau thoả mãn các biểu thức $a=eG$ và $b=fG$.

Theo đó, nếu tồn tại một số nguyên $c \neq G$ với $c \mid a,b$ thì $c \mid G$.

Mà cùng với đó, nếu $c \mid a,b$ thì $-c \mid a,b$ hay ta có $c \mid -a,-b$ .

Còn với $G \mid a,b$ thì $-G \mid a,b$ hay ta có $G \mid -a,-b$ .

Rõ ràng hơn khi tổng ý cho tất cả các điều trên:

Tập ước chung của $-a$ và $-b$ cũng là tập ước chung của $a$ và $b$

vì vậy,

Tập ước chung của $-a$ và $b$ cũng là tập ước chung của $a$ và $b$

và

Tập ước chung của $a$ và $-b$ cũng là tập ước chung của $a$ và $b$

hiển nhiên:

Do đó, thuật toán Euclid, tính $gcd$ của hai số nguyên dương, đủ để tính $gcd$ của hai số nguyên khác 0 tuỳ ý.

tính toán gcd của nhiều hơn hai số nguyên đầu vào

Khi nhìn vào ý nghĩa của $gcd$, một điều dễ nhận ra được:

trên tập ước chung của các số nguyên đầu vào, số nguyên dương lớn nhất là ước chung lớn nhất của các số đó.

Giả sử với bài toán $gcd$ bao gồm các số nguyên đầu vào $a,b$ và $c$, ta có các tập ước của mỗi số gồm:

nhìn chung:

Mặt khác,

như đã biết $\forall x \neq 0$ nếu $x \mid a,b$ thì $x \mid gcd(a,b)$,

xét trên phần giao giữa $D_a$ và $D_b$:

Vì vậy trong trường hợp này:

Một góc nhìn tổng quát:

$gcd$ của nhiều hơn hai số nguyên đầu vào có thể được tính bằng cách lấy $gcd$ của các cặp số nhiều lần.

Do đó, thuật toán Euclid, tính $gcd$ của hai số nguyên, đủ để tính $gcd$ của nhiều số nguyên tùy ý.

xấp xỉ tuyến tính (linear approximations)

Với các kiểu hàm số như: hàm logarit, hàm lượng giác, hàm căn thức…, trừ một số điểm mà ta có được điều kiện dễ dàng để xác định giá trị của chúng (các điểm đặc biệt) thì thật khó để ta có thể thực hiện công việc đánh giá chúng một cách chính xác hơn được nếu giả sử rằng hiện nay không có những chiếc máy tính tồn tại.

Vậy thì cách nào để chúng ta có thể đánh giá các kiểu hàm số như vậy một cách chính xác và dễ dàng hơn?

Đầu tiên, với $a$ là một điểm đặc biệt của hàm số $f(x)$:

Giá trị đạo hàm tại $a$ của $f(x)$ không chỉ là hệ số góc $m$ (gradient) của phương trình đường tiếp tuyến $G(x)$ tại tiếp điểm $a$ của hàm số $f(x)$, ở một góc nhìn khác, nó còn là “tốc độ biến thiên” của hàm $f(x)$ tại $a$:

Theo đó, sự đồng nhất về tốc độ biến thiên $m$ của hàm đa thức bậc nhất $G(x)$ và hàm $f(x)$ tại nơi mà đồ thị $G(x)$ đi qua điểm đặc biệt $a$ của $f(x)$ sẽ cho mỗi giá trị xác định của $G(x)$ khi $x \to a$ là giá trị xấp xỉ giá trị của $f(x)$ khi $x \to a$ có sai số $R(x)$ tốt hơn bất kì sai số của đường thẳng nào khác đi qua $a$.

Từ đây, ta có được một phương trình để tính xấp xỉ một hàm $f(x)$ quanh khu vực cận $a$ được gọi là phương trình xấp xỉ tuyến tính theo tiếp tuyến của nó tại $a$:

Tuy vậy, phạm vi tính gần đúng của phép tính xấp xỉ tuyến tính vẫn rất hạn chế, vì càng rời xa $a$, $R(x)$ càng rời xa 0.

chuỗi Taylor (Taylor series)

Với phép tính xấp xỉ tuyến tính đã có trước đó, một phép tính đạo hàm bậc 2 trên $G(x)$ và $f(x)$ cho thấy tốc độ biến thiên giữa $G’(x)$ và $f’(x)$ không còn đồng nhất, hay nói một cách chính xác hơn là không thể chủ động đồng nhất vì $G’(x)$ khi đó là một hàm hằng $\Leftrightarrow$ một dự đoán rằng: “đồ thị đạo hàm bậc nhất tại điểm $a$ không có cùng độ dốc” $\Leftrightarrow$ có thể nói một cách khách quan rằng trong trường hợp giả định có thể chủ động đồng nhất được $m’$ trong phép tính đạo hàm bậc 2 nhưng không thực hiện, thì $R’(x)$ được cho là “vẫn không hề đủ gần 0” và vì vậy $R(x)$ được cho là “vẫn không đủ gần 0” nên phép tính xấp xỉ “vẫn chưa đủ tốt”.

Mặt khác, các hàm đa thức có cấu trúc đại số trực diện, điều này giúp cho việc tính toán đánh giá và vẽ đồ thị ở mọi điểm của chúng trở nên rất dễ dàng.

Vì vậy để có thể có được một cải tiến trên phép tính xấp xỉ tuyến tính đã có, ta cần đồng ý rằng:

$G’(x)$ khi đó “ít nhất” phải là một hàm đa thức bậc nhất để có thể chủ động đồng nhất giá trị $m’$ $\Leftrightarrow$ sự yêu cầu khai triển một đa thức $G(x)$ bậc càng cao càng tốt sao cho $f(a)=G(a)$.

Khi bậc của đa thức càng cao, ở mỗi điểm xác định, sai số $R^{n}(x)$ giữa hai đạo hàm cùng bậc của $G(x)$ và $f(x)$ càng tiến về 0, theo đó $R(x)$ trong phép tính gần đúng cũng càng tiến gần về 0 hơn, phạm vi để tính gần đúng càng được mở rộng đáng kể.

Theo ý nghĩa đó, ta sẽ có được một tổng vô hạn tại $a$ để đánh giá chính xác hàm số $f(x)$ theo cách khai triển một đa thức bậc $n \to \infty$:

Khai triển này được gọi là chuỗi Taylor hay khai triển Taylor, theo tên của nhà toán học Brook Taylor, người đã giới thiệu chúng vào năm 1715.

khai triển Maclaurin

Một khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ tại điểm $x=0$ tồn tại thì được gọi là khai triển Maclaurin hay chuỗi Maclaurin, đây là một trường hợp đặc biệt của khai triển Taylor.

Ví dụ:

Ta sẽ có một phương trình xấp xỉ Maclaurin của hàm $sin(x)$:

^{Hình vẽ trên mô tả hàm số sin(x) và các đa thức Taylor bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 gọi là các xấp xỉ Taylor của hàm tại điểm x=0 hay còn gọi là các xấp xỉ Maclaurin của hàm.}

Vector (math)

Euclidean vector

Khi kiến thức vector chưa được xây dựng một cách có hệ thống, ý tưởng về những “đoạn thẳng định hướng” đã sớm xuất hiện rất nhiều trong các công trình cơ học, hay khi có số phức, người ta cũng hình thành nên ý tưởng biễu diễn số phức dưới dạng hình học là những đoạn thẳng định hướng,… khiến nó trở thành đối tượng đáng quan tâm trong mắt các nhà toán học thế kỷ 19 như một điều thiết yếu.

Một đoạn thẳng được định hướng trong không gian Euclid (kể cả trong không gian cổ điển hay không gian toạ độ) bởi hai điểm đầu mút của nó khi một trong hai được xác định là điểm đặt (điểm đầu) của đoạn thẳng và điểm còn lại sẽ là điểm tới (điểm cuối) của đoạn thẳng, một đối tượng hình học như vậy có ý nghĩa là “một lượng có phương hướng xác định” đại diện biểu thị cho các đại lượng cần có thêm thông tin về phương hướng không gian và được gọi là “Vector”. Theo căn bản đó, trong không gian Euclid ta thừa nhận rằng:

- các vector cùng nằm trên các đường thẳng song song với nhau hoặc trùng nhau được gọi là các vector cùng phương, chúng có thể cùng chiều hoặc ngược chiều.

- các vector cùng hướng là các vector cùng phương, cùng chiều.

- các vector bằng nhau là các vector có cùng độ dài, cùng hướng.

- các vector đối nhau là các vector có cùng độ dài, cùng phương nhưng ngược chiều.

Một vector v được viết kí hiệu: $\mathbf{v}$ (v in đậm) hoặc $\vec{\text{v}}$

hoặc khi đề cập đến độ dài hoặc độ lớn của nó ta viết: $\vert \mathbf{v}\vert$ hoặc $\vert \vec{\text{v}}\vert$, đôi khi $\Vert \mathbf{v}\Vert$ hoặc $\Vert \vec{\text{v}} \Vert$,…

Khi dựng các vector được kết hợp theo cách mà đầu của vector này được nối với đuôi của vector kia, sau đó luôn có thể có được “duy nhất” một đoạn thẳng nối từ “đầu còn lại” tới “đuôi còn lại” của chúng, một phép dựng hình như vậy, ở góc nhìn động học chẳng hạn, được nhìn nhận một cách chủ quan nhưng không sai rằng, đây là phép cộng giữa các vector dời vị trí của một chất điểm, tuân theo một quy tắc hình học gọi là “quy tắc các hình tam giác”.

Đoạn thẳng định hướng thu được sau phép dựng hình như vậy từ các vector đã cho tại sao lại được nhìn nhận là vector tổng của chúng?

Để làm rõ lối tư duy chủ quan này, chúng ta cần nhớ rằng, với bản chất của phép cộng, phép cộng giữa các đối tượng không có cùng định nghĩa, hoặc không có cùng bản chất, thì phép tính đó vô nghĩa. Giống như các đối tượng có bản chất số học thì được tập hợp trong cùng một tập hợp có bản chất số học:

Với các vector cũng vậy, các vector được nhìn nhận là “các vector bằng nhau”, dù đặt ở vị trí nào trong không gian đi nữa thì ở góc nhìn toán học, chúng phải được định nghĩa rằng: “chúng là một, một phần tử trong một tập hợp có ý nghĩa là tập chứa các đối tượng cùng có bản chất vector”.

Vậy, từ đó có thể khách quan mà nói, phép dựng hình theo quy tắc các hình tam giác giữa các vector như trên được nhìn nhận là phép cộng giữa các vector là bởi vì “quy tắc các hình tam giác” thực chất là quy tắc được bao hàm bởi một quy tắc hình học khác tổng quát hơn, được gọi là “quy tắc các hình bình hành”, bất kể là trong không gian cổ điển hay không gian có toạ độ, sự nhìn nhận này hoàn toàn có thể được chứng minh, hoặc là bằng các phương pháp của hình học tổng hợp, hay thuận tiện hơn là bằng các phương pháp được khái quát hoá từ các phương pháp của hình học tổng hợp là các phương pháp toạ độ (vectors as points).

Trong không gian Euclide, vector có độ dài được quy ước bằng 1 được gọi là vector đơn vị (vector cơ sở), kí hiệu: $\hat{\mathbf{u}}$, với

Vector space

Trong Đại số trừu tượng (đại số hiện đại), tập hợp vector mà ta nói đến bên trên được khái quát hoá thành một đối tượng toán học được gọi là Không gian vector (vector space).

“Không gian (space)” trong thuật ngữ “không gian vector (vector space)” là một thuật ngữ riêng của toán học thuần tuý, tuy có vẻ như nó đang ám chỉ tới định nghĩa trong từ điển ngôn ngữ thông thường (ví dụ: “Không gian ngoài trời, không gian trong phòng,…”) dễ khiến người ta liên tưởng tới các vector trong không gian Euclide và nhầm lẫn thuật ngữ này chỉ mang ý nghĩa hình học thuần tuý, nhưng không phải (không đủ), bản chất của vector khi được xem xét một cách kỹ lưỡng hơn (nội tại của vector có thể hiện diện bên trong vỏ bọc của vô số hình thái), nó buộc phải được trừu tượng hoá để có thể mở rộng phạm vi áp dụng mà nội tại của nó sẵn có (abstractness is the price of generality), vì vậy, thuật ngữ “không gian” trong “không gian vector” là thuật ngữ trong ngữ cảnh toán học nói chung (không phải hình học), là một định nghĩa về một tập hợp được trang bị một cấu trúc xác định mối quan hệ giữa các phần tử của tập hợp. Trong trường hợp này, cụ thể:

Không gian vector trên một trường $F$ (trường có thể là số thực hoặc số phức hoặc hàm số hoặc tuỳ ý…) là một tập hợp không rỗng có bản chất vector trên trường $F$, gọi là $V$, được trang bị một phép toán nhị phân và một hàm nhị phân giữa các phần tử là vector, thoã mãn hệ tiên đề sau:

1. Với mọi phần tử $x$ và $y$ trong $V$, $x+y$ cũng thuộc $V$.

2. Với mọi phần $x$ trong $V$ và phần tử $a$ trong $F$, $ax$ cũng thuộc $V$.

3. Với mọi phần tử $x$ và $y$ trong $V$, $x+y = y+x$.

4. Với mọi phần tử $x$, $y$ và $z$ trong $V$, $(x+y)+z = x+(y+z)$.

5. Tồn tại một phần tử trong $V$ là vector không (zero vector) sao cho $x+\mathbf{0}=x$ với mọi $x \in V$.

6. Với mọi $x \in V$, tồn tại một phần tử $-x \in V$ sao cho $x+(-x)=\mathbf{0}$.

7. Tồn tại một phần tử trong $F$ là $1$, với mọi $x \in V$, $1x=x$.

8. $\forall x \in V$ và $\forall a,b \in F$, $(ab)x=a(bx)$.

9. $\forall a \in F$ và $\forall x,y \in V$, $a(x+y)=ax+ay$.

10. $\forall x \in V$ và $\forall a,b \in F$, $(a+b)x= ax+bx$.

Để diễn đạt ngắn gọn hơn, ta có cách viết sau:

Trên trường $F$, một tập hợp $V \neq \emptyset$ là một Không gian vector khi:

$+:V\times V \rightarrow V$

$\bullet: F\times V \rightarrow V$ (scalar multiplication, đừng nhầm lẫn với scalar product)

Kí hiệu Không gian vector của tập $V$ (Không gian vector $V$):

Trên trường $F$, một tập hợp vector $W \subseteq V$ mà thoả mãn hệ tiên đề như vậy (tức là đủ cơ sở để hình thành nên Không gian vector), thì được gọi là Không gian vector con của Không gian vector $V$(sub-vector spaces), kí hiệu:

Ngược lại, $W$ chỉ cần vi phạm một trong các điều khoản của hệ tiên đề thì tập không đủ cơ sở hình thành một Không gian vector, kí hiệu:

Đến đây, khi trở lại với câu chuyện của thuật ngữ bên trên, để dễ hình dung hơn, cụ thể, nếu xét riêng trên một Không gian vector là $(\mathbb{R^3},+,\bullet)$ chẳng hạn, tức là Không gian vector 3 chiều trên trường số thực, ở góc nhìn hình học đúng nghĩa, trên đây, mỗi một vector xác định toạ độ bởi một bộ 3 số thực sẽ tương ứng như một điểm xác định trong không gian. Mọi thứ trông có vẻ rất đơn giản, tuy nhiên, vấn đề trọng tâm là, sẽ ra sao nếu toàn bộ các điểm trong không gian 3 chiều cũng chỉ là một phần các vector (được chứa) của (bởi) các không gian có số chiều lớn hơn với số lượng vector nhiều hơn?

Hẳn rồi, sẽ thật khó để hình dung và làm việc trên một Không gian vector (đúng nghĩa) có số chiều lớn hơn nếu thuật ngữ chỉ mang mỗi tầng ý nghĩa về hình học của các vector, hoặc mọi thứ sẽ còn càng đi xa hơn nữa nếu như Trường đang xét chẳng còn đơn giản là số hay hàm số…